31 grudnia godzina 18.16. Zostało zaledwie kilka godzin do Nowego Roku. Wszyscy układają plany i postanowienia noworoczne. Jak pokazują badania, ponad 80 procent postanowień uczynionych w Sylwestra jest porzucanych przed Walentynkami. Ja się więc tylko bardzo delikatnie skłaniam by wydłużyć mój trening sportowy z 7 do 8 minut dziennie a średni czas medytacji z 58 minut go może 60 … ale bez żadnej spiny.

Dzisiaj jednak porządkujemy sprawy teorii muzyki gitarowej. Przedstawię pewien lemat z teoretycznej muzykologii oraz schemat dowodu. Na początek kilka definicji:

Definicja 1. N: Niedoskonałość skali muzycznej – liczba dźwięków w skali, które podwyższone o pełną kwintę nie dają innego stopnia tej samej skali (np. dla skali diatonicznej jest to 1).

Definicja 2. M: Maksymalny interwał skali – największy interwał mierzony w półtonach występujący pomiędzy kolejnymi stopniami skali (np. dla skali molowej harmonicznej to 3).

Lemat. Załóżmy, że rozważamy tylko skale złożone z 6, 7 lub 8 dźwięków w oktawie (pentatoniki mnie nie interesują bo zazwyczaj są banalnym podzbiorem wymienionych). Załóżmy też że ograniczamy się do skal w których nie występują obok siebie kolejne półtony. Teza jest następująca. Jeśli N<5 a M<4 to liczba możliwych skal muzycznych przy tych założeniach równa się dokładnie czwartej liczbie Fermata:  gdzie n=3.

Zauważyłem to kilka tygodni temu (nie ma tego nigdzie w internecie). Jednak dopiero dzisiaj pozostawiam Wam do odgadnięcia dowód (raczej dla fanatyków teorii muzyki i kombinatoryki). Jak się praktycznie konsumuje powyższy lemat w ciągu nadchodzącego roku? Wyliczmy dokładnie te 257 tonacji.

• skala diatoniczna i jej siedem modusóww kolejnych tonacjach: 7*12=84 tonacje
• skala molowa melodyczna i jej modusy: 7*12=84 tonacje
• skala molowa harmoniczna i jej modusy:  7*12=84 tonacje
• skala sześciotonowa symetryczna całotonowa: 2 tonacje
• skala okratoniczna: 3 tonacje

Razem dokładnie 257 tonacji spełniających wymienione założenia. Tyle jest sensownych (oraz lekko bezsensownych) tonacji muzycznych. Wcześniej pisałem o 1490 skalach z których większość jest artystycznie raczej za bardzo kontrowersyjna. Uczynione założenia zredukowały plany muzyczne dość istotnie. Liczymy dalej: 365 dni w roku zajęte przez 257 skal. Pozostaje 108. Jak to zagospodarować? Dla osób które medytują sprawa jest jasna. Przecież człowiek ma dokładnie 108 możliwych uczuć (vedan).

Życzę Wam (i sobie) tylko tych pozytywnych!