Dzisiejszy tekst kieruję do zainteresowanych matematyką muzyków z lekkimi objawiamy zaburzenia Aspergera. Tak – zdaje sobie sprawę, że nie jest to najszybsza metoda pozyskiwania lajków na FB ale też nie to jest (dzisiaj) moim celem.
Od jakiegoś czasu nurtuje mnie pytanie jaka jest lista skal muzycznych w oparciu o którą można budować racjonalny plan rozwoju artystycznego. W ogólności zakładając, że dzielimy oktawę na 12 części nie większych niż tercja wielka i nie mniejszych niż półton, dostajemy 1490 skal muzycznych. Dobrze wykształcona osoba z zachodniego kręgu kulturowego zna może około 20 skal muzycznych: dur, mol plus pozostałe pięć skal modalnych, skale pentatoniczne, bluesowe, oktatatoniczna, kilka bebopowych. Na ogranie tego ludzkość potrzebowała 500 lat i geniuszu Bacha, Mozarta i wielu innych. Widać jak olbrzymi obszar brzmieniowy pozostaje do eksploracji dla przyszłych pokoleń. Z pewnością w kwestii eksploracji skal muzycznych zrobiliśmy do tej pory mniej niż w kwestii eksploracji kosmosu (piszę to jako astrofizyk i gitarzysta).
Czyniąc pewne
racjonalne ograniczenia można tą liczbę zredukować do 257. 1490 to za dużo na jedno życie zaś 257 wydało mi się ostatnio jednak za mało. W poprzednim tekście uczyniłem założenie, że w harmonizacji nie może pojawić się zbyt wiele akordów zmniejszonych (kwestia „niedoskonałości skali”). Wydaje się, że w ten sposób pozbawiliśmy się kilku interesujących możliwości jak np. skala węgierska i jej skale modalne albo skala durowa harmoniczna. W tego typu skalach półtony nie sąsiadują ze sobą zaś największy interwał pomiędzy sąsiednimi stopniami skali to tercja mała. Jedyną artystyczną „wadą” wspomnianych skal jest ich harmonizacja w której dominują akordy zmniejszone – są jednak inne artystyczne zalety o których napisze przy innej okazji.
Niewątpliwie kryterium demarkacji pomiędzy skalami sensownymi artystycznie i bezsensownymi powinno mieć ścisły charakter matematyczny, który równocześnie uwzględnia to co dla naszego słuchu i smaku muzycznego wydaje się akceptowalne. Dlaczego matematyka a nie swobodna wyobraźnia artystyczna? Powód jest banalny. Możemy wyobrazić sobie tylko to co słyszeliśmy lub widzieliśmy zaś matematyka może nas zaprowadzić na zupełnie nowe ciekawe obszary. To matematyka jest dźwignią wyobraźni a nie odwrotnie … tak samo w fizyce jak w muzyce.
OK. Po tych wstępnych rozważaniach mogę przedstawić twierdzenie z dziedziny muzykologii matematycznej nad którym pracowałem przez ostatnie kilka poranków.
Założenia:
- Przyjmujemy zachodni system dzielenia oktawy na 12 (mniej lub bardziej równych) półtonów
- Skala muzyczna to ciąg więcej niż pięciu nut w którym każda kolejna jest wyższa niż poprzednia ale wszystkie mieszczą się w obrębie oktawy. Pentatoniki w tym ujęciu to nie osobne skale lecz podzbiory skal heksatonicznych, heptatonicznych i oktatonicznych.
- Półtony nie mogą ze sobą sąsiadować. Skale bez sąsiadujących półtonów nazywamy ankohemitonicznymi. Tak – wykluczamy w ten sposób skale bluesowe oraz bebopowe. Uważam jednak, że „passing tone” to nie element skali muzycznej lecz styl wykonawczy. Zawsze improwizując możesz dodać passing ton tam gdzie chcesz. Rezygnując z ankohemitonii wylądowalibyśmy na ponad tysiącu możliwości.
- Oczywiście dopuszczamy możliwość że interwał pomiędzy kolejnymi stopniami skali jest większy niż dwa półtony. Nie podobają mi się jednak skale w których liczba takich przypadków jest większa lub równa liczbie półtonów. Zakładam więc że liczba półtonów pomiędzy kolejnymi stopniami skali jest większa niż liczba interwałów większych niż sekunda wielka.
W istocie więc założenie sprowadzają się do tego, że nie dopuszczamy sąsiadujących półtonów (ankohemitonia) oraz, że ograniczamy liczbę interwałów większych niż sekunda duża w stosunku do półtonów. Wydaje się że to bardzo zwarty i sensowny artystycznie wymóg. Twierdzenie mogę więc sformułować krótko:
Załóżmy że półtony w skali muzycznej ze sobą nie sąsiadują oraz że (jeśli są) to jest ich więcej niż tercji.
Liczba takich skal to 29.
Fantastyczne!!! Nieprawdaż? Bardzo mnie cieszy że takie twierdzenie zachodzi (oraz że udało mi się go dowieść pracowicie poświęcając kilka przedświątecznych poranków). Nie bardzo wiem dlaczego zajmowanie się tak bezsensownymi rzeczami daje takie głębokie poczucie sensu. Dowód oraz kompletną listę wszystkich 512 skal spełniających to twierdzenie opublikuję w kolejnych tekstach. Czego Wszystkim i sobie życzę!
Wyjaśnij proszę, jak rozumieć zapis dotyczący tego 4-elementowego łańcucha liczb pierwszych. Nasuwa się intepretacja, że chodzi o cztery liczby pierwsze takie, że następna jest o 1 większa od dwukrotności poprzedniej. Taką regułę w rzeczy samej spełniają liczby 509, 1019, 2039 i 4079. Trudno jednak uznać 509 za najmniejszą liczbę zaczynającą taki ciąg. Najmniejszą taką liczbą jest 2, rozpoczynające ciąg 2, 5, 11 i 23. Oczywiście ani w jednym, ani w drugim przypadku, to nie są KOLEJNE liczby pierwsze. Przypuszczam, że żadne 4 kolejne liczby pierwsze nie spełniają tego warunku.
No i najzupełniej oczywiście wystarczy poprzestać na suchym stwierdzeniu, że liczba pewnego typu skal jest równa 509 – co być może nawet jest stwierdzeniem prawdziwym 🙂
Pozdrowienia.
Rzeczywiście – modyfikuję tekst. Dzięki!!!
Do usług 🙂
Wychodzi mi też na to, że skal o podanych przez Ciebie parametrach jest znacznie mniej niż 509. W ramach oktawy mamy 12 kolejnych dźwięków odległych od siebie o pół tonu. Pierwszy dźwięk wchodzi z automatu. Na ile sposobów można wybrać dźwięki z pozostałych jedenastu opcji? Na 2^11 = 2048. To daje nam wszystkie możliwe skale od skali „pustej” składającej się z jednego dźwięku do skali pełnej (dodekafonicznej). Jest tego na tyle mało, że problem można rozstrzygnąć metodą brute force 🙂 Twoje warunki mogą spełnić tylko skale 6-, 7- i 8-stopniowe. Usuwamy więc wszystkie skale mające mniej niż 6 lub więcej niż 8 stopni. Bach. Zostają nam 1254 skale. Teraz usuwamy te skale, w których pojawiają się dwa sąsiednie półtony. Bach. Zostaje nam już tylko 185 skal. Usuwamy te, w których pojawiają się interwały większe niż 4 półtony. Bach. Zostaje 179 skal. A i z nich nie wszystkie spełniają Twoje warunki.
Żeby pozbyć się problemu z głowy, musiałem sobie jeszcze policzyć parę rzeczy.
Po pierwsze, inaczej sformułowałbym warunki. Przyjmujemy oczywiście, że do dyspozycji mamy oktawę, a w jej ramach 12 kolejnych dźwięków odległych od siebie o pół tonu (1pt), z których pierwszy wchodzi do skali z automatu. Warunki wyodrębnienia „sensownej” skali są następujące:
1) Wykluczamy sąsiadujące ze sobą półtony.
2) Wykluczamy skale, które można utworzyć z innych skal poprzez usunięcie z nich jednego bądź więcej dźwięków. Inaczej: akceptujemy tylko skale, do których nie można już dodać żadnego dźwięku bez pogwałcenia warunku 1 (zwróć uwagę, że warunek 2 odpowiada powodowi, dla którego Ty usunąłeś ze swoich rozważań pentatoniki).
Warunek 2 jest równoważny dwóm poniższym:
2a) Wykluczone są interwały większe od 3pt. Interwał 4pt zawsze można robić na dwa interwały 2pt przez dodanie jednego dźwięku pomiędzy.
2b) Jeśli w skali występuje interwał 3pt, to musi on być otoczony interwałami 1pt. Gdyby tak nie było, możliwe byłoby dodanie do skali dźwięku bez naruszenia warunku 1.
Ile jest skal spełniających powyższe warunki?
Jeśli się gdzieś nie pomyliłem: 33.
Nie jest to liczba tak imponująca jak 509, choć ma swój palindromiczny urok. Mimo wszystko myślę też, że z tego skromnego materiału można uszyć mnóstwo dobrej muzy!
Ależ proszę przykład: skala durowa, skala molowa melodyczna, skala molowa harmoniczna * 7 modusów * 12 tonacji to już daje 252.
Każdą skalę można oczywiście ustawić w dowolnej z 12 tonacji, ale to oznaczałoby, że całkowita liczba „sensownych” skal musi być podzielna przez 12. Z całą pewnością nie mogłoby ich być 509, bo jest to – jak sam zauważyłeś – liczba pierwsza.
Rozsądne wydaje się jednak abstrahowanie od tonacji i skupienie uwagi na porządku interwałów.
Jest to nieco bardziej trikowe. Skale siedmiotonowe występują w 12 niezależnych tonacjach ale np. skala oktatoniczna składająca się na zmianę z tonu i pół tonu ma tylko trzy różne tonacje bo transpozycja już o 4 półtony trafia na to samo. Podobnie są tylko dwie niezależne tonacje całotnowej skali heksatonicznej. Dalsza transpozycja trafia na to samo.
Skala C-dur i a-moll też „trafia na to samo”, a jednak traktujesz je jak odrębne skale.
Twoje kryteria są dla mnie niejasne, co może świadczyć zarówno o moim nieokrzesaniu muzycznym, jak i o słabości Twojego tłumaczenia problemu muzycznego na problem matematyczny.
Tak – są tu subtelności. Oczywiście że modusy traktuje odrębnie – o tym jest ta cała historia. Przecież C-dur i a-moll to są muzycznie dwie różne rzeczy. Zaś C- oktatoniczna półton/cały ton to jest artystycznie to samo co D# – oktatoniczna. Sprawa wymaga wyklarowania bo po doliczeniu drugiego modusu skali oktatonicznej wychodzi jeszcze ładniejsza liczba 512. Znowu naniosłem poprawki.
Przyjrzyj się jeszcze temu: http://andrewduncan.net/cmt/
Ktoś już ten kawał roboty odwalił 😉
Rzeczywiście genialna robota! Och i nawet inne ciekawe rozważania. Nie widzę tam wprost rozwiązania postawionego powyżej problemu. Plan jest taki. W następnym wpisie chcę policzyć skale siedmiotonowe które nie mają sąsiadujących półtonów. Takich kolistych diagramów jest w tym przypadku 6.
Zamykając wątek 🙂 Dla każdej z moich 33 „sensownych” skal sprawdziłem, ile jest możliwych tonacji (przyjmujemy, że jeśli transpozycja skali wyjściowej prowadzi do identycznej sekwencji dźwięków, mamy do czynienia z tą samą tonacją).
Na 33 „sensowne” skale:
28 ma 12 tonacji
2 mają 4 tonacje (skale z trzema interwałami 3pt: 313131 i 131313)
2 mają 3 tonacje (skale naprzemienne 2pt+1pt: 21212121 i 12121212)
1 ma 2 tonacje (skala całotonowa: 222222)
——-
Zatem łącznie: 33 „sensowne” skale umożliwiają wygenerowanie 352 gam.
Duncan w swoich obliczeniach nie nakładał żadnych ograniczeń na dopuszczalną długość i układ interwałów (poza tym, że muszą one być wielokrotnością 1pt i sumować się do 12 pt). Jest bardzo interesujące, że liczbę wszystkich możliwych skal (bez uwzględniania tonacji) ustalił na dokładnie… 352.
Więcej niż 504. Odpowiedź w kolejnym tekście.
Muzyka to szkiełko i oko, ale także serce.